Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=2，且f（x+1）-f（x）=2x-1對(duì)任意x∈R都成立．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求g（x）=lg（f（x））的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，則由f（0）=2得，c=2；化簡(jiǎn)f（x+1）-f（x）=2x-1對(duì)任意x∈R都成立可得2ax+a+b=2x-1對(duì)任意x恒成立，從而求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）先求出f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1的范圍，從而求g（x）=lg（f（x））的值域．

解答： 解：（1）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，
則由f（0）=2得，c=2；
由f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）
=2ax+a+b=2x-1對(duì)任意x恒成立，
則2a=2，a+b=-1；
則a=1，b=-2；
則f（x）=x²-2x+2．
（2）∵f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，
∴l(xiāng)g（f（x））≥lg1=0；
則g（x）=lg（f（x））的值域?yàn)閇0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的解析式的求法及函數(shù)的值域的求法，屬于中檔題．