Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=3，通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和s_n之間滿足2a_n=S_n•S_n-1（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）把2a_n=S_n•S_n-1（n≥2）中的a_n化為S_n-S_n-1，然后兩邊同除以S_n•S_n-1．結(jié)合等差數(shù)列定義可證；
（2）由（1）可求得S_n，根據(jù)an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

即可求得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）根據(jù)n≥3時(shí)a_n的單調(diào)性及前三項(xiàng)即可求得最大項(xiàng)；

解答：解（1）由2a_n=S_n•S_n-1（n≥2），得2（S_n-S_n-1）=S_n•S_n-1．
所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=-

1

2

（n≥2），
所以{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（2）由（1）知，

1

Sn

=

1

3

+(n-1)(-

1

2

)，
所以Sn=

6

5-3n

，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

18

(3n-5)(3n-8)

，
∴an=

3，n=1 18 (3n-5)(3n-8) ，n≥2

；
（3）由a₁，a₂，a₃及n≥3時(shí)a_n的單調(diào)性知：a3=

9

2

是最大項(xiàng)；

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)、等差數(shù)列的定義及其判斷等知識(shí)，屬中檔題．