Question

已知為拋物線C：上一點

（1）求拋物線C的標準方程；

（2）設(shè)A、B拋物線C上異于原點O的兩點且，求證:直線AB恒過定點，并求出該定點坐標；

（3）在（2）的條件下，若過原點O向直線AB作垂線，求垂足P（x,y）的軌跡方程。

Answer 1

已知為拋物線C：上一點

（1）求拋物線的標準方程；

（2）設(shè)A、B拋物線C上異于原點O的兩點且，求證:直線AB恒過定點N，并求出定點N坐標；

（3）在（2）的條件下，若過原點O向直線AB作垂線，求垂足P（x,y）的軌跡方程。

解：（1）    當直線的斜率存在時，設(shè)直線l:y=kx+m,聯(lián)立得，依題意有，則

即=0

，化簡得，故,此時直線l:y=kx-4k=(x-4)k, 恒過點N（4,0）

當直線l的斜率不存在時，設(shè)l:x=t,可解得t=4,故直線恒過定點N（4,0）  

注：本題也可以先由，解得，再結(jié)合韋達定理求出定點坐標，同樣給分；

(3)P點在以O(shè)N為直徑的圓周上（除去原點），故點P的軌跡方程為：