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16.設(shè)定義域為R+的函數(shù)f(x),對任意的正實數(shù)x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),且當x>1時有f(x)>0.
①求f(1)的值;
②判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并證明.
③若f(1a)=-1,求滿足不等式f(1-x)<1的x的取值范圍.

分析 ①令x=y=1即可得出f(1);
②設(shè)x1>x2>0,則f(x1)=f(x1x2x2)=f(x1x2)+f(x2),使用作差法判斷f(x1)-f(x2)的符號即可得出結(jié)論;
③移項得f(1-x)-1<0,即f(1-x)+f(1a)<0,故f(1xa)<f(1),利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組解出x的范圍.

解答 解:①令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1)=2f(1),
∴f(1)=0,
②設(shè)x1>x2>0,則f(x1)=f(x1x2x2)=f(x1x2)+f(x2),
∴f(x1)-f(x2)=f(x1x2),
∵x1>x2>0,∴x1x2>1,∴f(x1x2)>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
③∵f(1a)=-1,f(1-x)<1,
∴f(1-x)-1<0,即f(1-x)+f(1a)<0,
∴f(1xa)<f(1),
{1xa11xa01a0,解得1-a<x<1.

點評 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用,屬于中檔題.

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