12.已知函數(shù)f(x)=x-xlnx,數(shù)列{an}滿足a1=1e,an+1=f(an),n∈N*,e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:1e≤an<an+1<1.
分析 (1)推導(dǎo)出x>0,f′(x)=1-lnx-1=-lnx,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)由數(shù)列{an}滿足a1=1e,an+1=f(an),n∈N*,結(jié)合f(x)的單調(diào)性利用數(shù)學(xué)歸納法能證明:1e≤an<an+1<1.
解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=x-xlnx,
∴x>0,f′(x)=1-lnx-1=-lnx,
由f′(x)>0,得0<x<1;由f′(x)<0,得x>1.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).
證明:(2)∵數(shù)列{an}滿足a1=1e,an+1=f(an),n∈N*,
∴①n=1,a2=2e,滿足1e≤a1<a2<1.
②假設(shè)n=k(k≥1),1e≤ak<ak+1<1成立,
則n=k+1時,
由(1)知,f(x)在(0,1)上為增函數(shù),
∴當x∈[1e,1)時,f(x)∈[2e,1)
∴f(1e)≤f(ak)<f(ak+1)<f(1)⇒2e≤ak<ak+1<1⇒1e≤ak<ak+1<1
由①②知:1e≤an<an+1<1.
點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查不等式的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和數(shù)學(xué)歸納法的合理運用.