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12.已知函數(shù)f(x)=x-xlnx,數(shù)列{an}滿足a1=1e,an+1=f(an),n∈N*,e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:1eanan+1<1.

分析 (1)推導(dǎo)出x>0,f′(x)=1-lnx-1=-lnx,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)由數(shù)列{an}滿足a1=1e,an+1=f(an),n∈N*,結(jié)合f(x)的單調(diào)性利用數(shù)學(xué)歸納法能證明:1eanan+11

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=x-xlnx,
∴x>0,f′(x)=1-lnx-1=-lnx,
由f′(x)>0,得0<x<1;由f′(x)<0,得x>1.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).
證明:(2)∵數(shù)列{an}滿足a1=1e,an+1=f(an),n∈N*,
∴①n=1a2=2e,滿足1ea1a21
②假設(shè)n=k(k≥1),1eakak+11成立,
則n=k+1時,
由(1)知,f(x)在(0,1)上為增函數(shù),
∴當x[1e1時,fx[2e1
f1efakfak+1f12eakak+111eakak+11
由①②知:1eanan+11

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查不等式的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和數(shù)學(xué)歸納法的合理運用.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求集合D(用區(qū)間表示);
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20.圓(x-3)2+(y+4)2=2關(guān)于直線y=0對稱的圓的方程是( �。�
A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)2=2D.(x-3)2+(y-4)2=2

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7.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=13(an-1).
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(2)求an及Sn

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17.某工廠為了了解工人文化程度與月收入的關(guān)系,隨機調(diào)查了部分工人,得到如表:
文化程度與月收入列表   (單位:人)
月收入2000元以下月收入2000元及以上總計
高中文化以上104555
高中文化及以下203050
總計3075105
由上表中數(shù)據(jù)計算得K2=105×10×3020×45255×50×30×75≈6.1,則估計根據(jù)如表你認為有97.5%以上把握確認“文化程度與月收入有關(guān)系”.
P(K2>k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
K0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83

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4.甲、乙、丙三名同學(xué)在未經(jīng)商量的情況下去書店購買語數(shù)外理化生六科的教輔資料,每人都只買一本教輔資料書,則三名同學(xué)所買資料書各不相同的概率( �。�
A.59B.554C.40243D.16

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1.方程y=|x|x2表示的曲線是(  )
A.B.
C.D.

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2.設(shè)F為橢圓x29+y28=1右焦點,且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i=1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|,|FP3|…組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍是[11000110]

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