已知a為正常數(shù)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-a，0），（a，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-
1
a2

（1）求點(diǎn)M的軌跡方程，并指出方程所表示的曲線；
（2）當(dāng)a=
2
時(shí)，過(guò)點(diǎn)F（1，0）作直線l∥AM，記l與（1）中軌跡相交于兩點(diǎn)P，Q，動(dòng)直線AM與y軸交與點(diǎn)N，證明
|PQ|
|AM||AN|
為定值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），x≠±a，kAM=
y
x+a
，kBN=
y
x-a
，由此能求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程及該方程表示的曲線．
（2）當(dāng)a=
2
時(shí)，A（-
2
，0），動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是
x2
2
+y2=1，x≠±
2
，設(shè)直線AM的方程為y=k（x+
2
），由
y=k(x+
2
)
x2
2
+y2=1
，得（1+2k2）x2+4
2
k2x+4k2-2=0，由此求出|AM|•|AN|=
4(1+k2)
1+2k2
，又直線PQ的方程為y=k（x-1），由
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，由此求出|PQ|=
2
2
(1+k2)
1+2k2
，從而能證明
|PQ|
|AM|•|AN|
為定值．
解答： （1）解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），x≠±a，
由已知知直線AM，BN的斜率分別是kAM=
y
x+a
，kBN=
y
x-a
，
∴
y
x+a
•
y
x-a
=-
1
a2
，
整理，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：
x2
a2
+y2=1，x≠±a．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程所表示的曲線是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，半長(zhǎng)軸為1，
半短軸為a的橢圓，不含長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)；
當(dāng)a=1時(shí)，方程所表示的曲線是中心在原點(diǎn)，以1為半徑的圓，不含（±1，0）；
a＞1時(shí)，方程所表示的曲線是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，半長(zhǎng)軸為a，
半短軸為1的橢圓，不含長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．
（2）證明：當(dāng)a=
2
時(shí)，A（-
2
，0），動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是
x2
2
+y2=1，x≠±
2
，
設(shè)直線AM的方程為y=k（x+
2
），k∈R，且k≠0，
令x=0，得y=
2
k，∴N（0，
2
k），
由
y=k(x+
2
)
x2
2
+y2=1
，得（1+2k2）x2+4
2
k2x+4k2-2=0，
即（x+
2
）（1+2k2）x+2
2
k2-
2
=0，解得x=-
2
，或x=
2
-2
2
k2
1+2k2
，
又x=
2
-2
2
k2
1+2k2
時(shí)，y=k（
2
-2
2
k2
1+2k2
+
2
）=
2
2
k
1+2k2
，
∴M（
2
-2
2
k2
1+2k2
，
2
2
k
1+2k2
），
∴|AM|•|AN|=
2
2
•
1+k2
1+2k2
•
2
1+k2
=
4(1+k2)
1+2k2
，
又由已知得直線PQ的方程為y=k（x-1），
由
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個(gè)根，
∴|x1-x2|=
(-4k2)2-4(1+2k2)(2k2-2)
1+2k2
=
2
2
1+k2
1+2k2
，
|PQ|=
1+k2
|x1-x2|=
2
2
(1+k2)
1+2k2
，
∴
|PQ|
|AM|•|AN|
=
2
2
(1+k2)
1+2k2
4(1+k2)
1+2k2
=
2
2
．
∴
|PQ|
|AM||AN|
為定值
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查
|PQ|
|AM||AN|
為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下面四個(gè)結(jié)論：
①若y=3x，則y′=3xln3；
②若y=ex，則y′=ex；
③若y=lnx，則y′=
1
x
；
④若y=logax（a＞0，且a≠1），則y′=
1
x
lna．
其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=x2+x，用g（n）表示f（x）當(dāng)x∈[n，n+1]（n∈N*）時(shí)的函數(shù)值中整數(shù)值的個(gè)數(shù)．
（1）求g（n）的表達(dá)式．
（2）設(shè)an=
2n3+3n2
g(n)
（n∈N*），求S2n=
2n
k=1
（-1）k-1ak．
（3）設(shè)bn=
g(n)
2n
，Tn=b1+b2+…+bn，若Tn＜l（l∈Z），求l的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某校團(tuán)對(duì)“學(xué)生性別與是否喜歡韓劇有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的
1
2
，男生喜歡韓劇的人數(shù)占男生人數(shù)的
1
6
，女生喜歡韓劇的人數(shù)占女生人數(shù)的
2
3
．若在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為是否喜歡韓劇和性別有關(guān)，則男生至少有多少人？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+alnx-1，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若2f（x）+
lnx
x
≥0對(duì)于任意x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給定有限單調(diào)遞增數(shù)列{xn}（n∈N*，n≥2）且xi≠0（1≤i≤n），定義集合A={（xi，xj）|1≤i，j≤n，且i，j∈N*}．若對(duì)任意點(diǎn)A1∈A，存在點(diǎn)A2∈A使得OA1⊥OA2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱(chēng)數(shù)列{xn}具有性質(zhì)P．
（Ⅰ）給出下列四個(gè)命題，其中正確的是
 
（填上所有正確有命題的序號(hào)）
①數(shù)列{xn}：-2，2具有性質(zhì)P；
②數(shù)列{yn}：-2，-1，1，3具有性質(zhì)P；
③若數(shù)列{xn}具有P，則{xn}中一定存在兩項(xiàng)xi，xj，使得xi+xj=0；
④若數(shù)列{xn}具有性質(zhì)P，x1=-1，x2＞0且xn＞1（n≥3），則x2=1．
（Ⅱ）若數(shù)列{xn}只有2014項(xiàng)且具有性質(zhì)P，x1=-1，x3=2，則{xn}的所有項(xiàng)和S2014=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0且a≠1，設(shè)命題p：對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax在R+上單調(diào)遞減，命題q：曲線y=x2+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)，如果“p∨q”為真，且“p∧q”為假，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=t＞1，an+1=
n+1
n
an．函數(shù)f（x）=ln（1+x）+mx2-x（m∈[0，
1
2
]）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若m=
1
2
，數(shù)列{bn}滿足bn=f（an）+an，求證：
2
an+2
＜
an
bn
＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）最小值．

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