Question

已知函數f（x）是定義在R上的單調函數，且對于任意x₁、x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），若g（x）=log₂f（x），則g（x）的圖象可以是（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：函數的圖象,抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：由題意，利用賦值法，先求出f（0）=1，即g（0）=0，再根據復合函數的單調性得g（x）在其定義域上為增函數，問題的以判斷．

解答： 解：∵g（x）=log₂f（x），
∴f（x）＞0
任意x₁、x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），
令x₁=x₂=0，則f（0）=f（0）•f（0），
∴f（0）=1，
∴g（0）=log₂f（0）=0，
∴g（x）的圖象通過原點，
∵函數f（x）是定義在R上的單調函數，而y=log₂x也是單調函數，
∴g（x）=log₂f（x）再其定義域上也為單調函數．
只有選項C符合，
故選：C．

點評：本題主要考查了函數的復合函數的單調性以及利用賦值法解決抽象函數，屬于中檔題．