Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA=PB=PC=PD=1，∠APB=∠DPC=90°，∠BPC=∠APD=60°．
（Ⅰ）求證：底面ABCD為矩形；
（Ⅱ）在DC取一點M，使得PB⊥平面PAM，求直線PA與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面的基本性質(zhì)及推論,點、線、面間的距離計算

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由條件得到△PAB≌△PDC，△PBC≌△PAD，從而得AB=DC，BC=AD，即底面ABCD為平行四邊形，取BC，AD的中點分別為E，F(xiàn)，證得BC⊥平面PEF，從而AB⊥BC，結(jié)論成立；
（Ⅱ）首先證得AM⊥平面PBD，從而∠APN為直線PA與平面PBD所成的角，通過解△ABD，求出AN，sin∠APN，即可得到答案．

解答： （Ⅰ）證明∵PA=PB=PC=PD=1，∠APB=∠DPC=90°，∠BPC=∠APD=60°，
∴△PAB≌△PDC，△PBC≌△PAD，
∴AB=DC，BC=AD，
∴底面ABCD為平行四邊形，
取BC，AD的中點分別為E，F(xiàn)，則BC⊥PE，AD⊥PF，又BC∥AD，
∴BC⊥PF，∴BC⊥平面PEF，BC⊥EF，
顯然AB∥EF，∴AB⊥BC，∴底面ABCD為矩形；
（Ⅱ）解：連接AC，BD交于點O，則PO⊥底面ABCD，
∵PB⊥平面PAM，∴PB⊥AM，
又AM⊥PO，∴AM⊥平面PBD，
設(shè)AM∩平面PBD=N，
∴∠APN為直線PA與平面PBD所成的角．
在△ABD中，AN=

AB•AD

BD

=

2

3

，
sin∠APN=

AN

AP

=

6

3

．
∴直線PA與平面PBD所成的角的正弦值為

6

3

．

點評：本題考查空間直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查直線與平面所成的角的大小，考查基本的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．