Question

設(shè)向量，點(diǎn)P（x，y）為動(dòng)點(diǎn)，已知．
（1）求點(diǎn)p的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)p的軌跡與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)F（1，0）的直線交點(diǎn)P的軌跡于B、C兩點(diǎn)，試推斷△ABC的面積是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題設(shè)可得根據(jù)橢圓的定義可判斷出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M是以點(diǎn)E（-1，0），F(xiàn)（1，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．由c和a求得b，點(diǎn)P的軌跡方程可得．
（2）直線BC的方程x=my+1與橢圓方程聯(lián)立消去x，設(shè)點(diǎn)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）根據(jù)韋達(dá)定理可分別表示出y₁+y₂，y₁y₂進(jìn)而表示出|BC|，表示點(diǎn)A到直線BC的距離，進(jìn)而可表示三角形ABC的面積根據(jù)m的范圍確定面積的最大值．
解答：解：（1）由已知，，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M是以點(diǎn)E（-1，0），F(xiàn)（1，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．
因?yàn)閏=1，a=2，則b²=a²-c²=3．
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M方程是
（2）設(shè)直線BC的方程x=my+1與（1）中的橢圓方程聯(lián)立消去x
可得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設(shè)點(diǎn)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
則，
所以=

點(diǎn)A到直線BC的距離

令，t≥1，
∴
故三角形的面積最大值為
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．