Question

設(shè)向量，點P（x，y）為動點，已知．
（1）求點p的軌跡方程；
（2）設(shè)點p的軌跡與x軸負半軸交于點A，過點F（1，0）的直線交點P的軌跡于B、C兩點，試推斷△ABC的面積是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題設(shè)可得根據(jù)橢圓的定義可判斷出動點P的軌跡M是以點E（-1，0），F(xiàn)（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓．由c和a求得b，點P的軌跡方程可得．
（2）直線BC的方程x=my+1與橢圓方程聯(lián)立消去x，設(shè)點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）根據(jù)韋達定理可分別表示出y₁+y₂，y₁y₂進而表示出|BC|，表示點A到直線BC的距離，進而可表示三角形ABC的面積根據(jù)m的范圍確定面積的最大值．
解答：解：（1）由已知，，
所以動點P的軌跡M是以點E（-1，0），F(xiàn)（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓．
因為c=1，a=2，則b²=a²-c²=3．
故動點P的軌跡M方程是
（2）設(shè)直線BC的方程x=my+1與（1）中的橢圓方程聯(lián)立消去x
可得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設(shè)點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
則，
所以=

點A到直線BC的距離

令，t≥1，
∴
故三角形的面積最大值為
點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．