Question

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知

cosB

cosC

=

b

4a-c

．
（1）求cosB的值；
（2）若b=4，a-c=2，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：計算題,解三角形

分析：（1）由已知及正弦定理可得：4sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，由兩角和的正弦公式可得4sinAcosB=sinA，從而可解得cosB．
（2）由（1）可得sinB=

15

4

，又b=4，由余弦定理得16=a²+c²-

1

2

ac，又因為a-c=2，解得c，a的值，從而由三角形面積公式即可得解．

解答： 解：（1）因為

cosB

cosC

=

b

4a-c

，
由正弦定理得4sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，…（2分）
于是4sinAcosB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA．                     …（4分）
在△ABC中，sinA≠0，所以cosB=

1

4

，…（6分）
（2）由（1）得cosB=

1

4

，因為B∈（0，π），所以sinB=

15

4

．         …（8分）
又b=4，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得16=a²+c²-

1

2

ac．         …（10分）
又因為a-c=2，解得c=2或c=-4（舍），故a=4．                   …（12分）
所以△ABC的面積S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×4×2×

15

4

=

15

．         …（14分）

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、兩角和的正弦公式在解三角形中的應用，屬于基本知識的考查．