Question

如圖，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x²＝2py(p>0)上．

(1)求拋物線E的方程；

(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y＝－1相交于點Q，以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上某定點M，若存在，求出M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)依題意，得|OB|＝8，根據(jù)對稱性知，∠BOy＝30°.

設(shè)點B(x，y)，則x＝8×sin 30°＝4，

y＝8×cos 30°＝12，

所以B(4，12)在拋物線上，

所以(4)²＝2p×12，解得p＝2，

拋物線E的方程為x²＝4y.

(2)設(shè)點P(x₀，y₀)(x₀≠0)，因為y＝x²，y′＝x，

直線l的方程為y－y₀＝x₀(x－x₀)，

即y＝x₀x－x.

設(shè)滿足條件的定點M存在，坐標為M(0，y₁)，

又y₀＝x(x₀≠0)，聯(lián)立解得y₁＝1，

故以PQ為直徑的圓過y軸上的定點M(0,1)．