已知f(x)=
lnx
1+x
-lnx,f(x)在x=x0處取得最大值,以下各式正確的序號為(  )
①x0<1;
②x0>1;
③f(x0)<x0;
④f(x0)=x0;
⑤f(x0)>x0
A、①③B、①④C、②④D、②⑤
考點:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:f(x)=
1+x
x
-lnx
(1+x)2
-
1
x
=-
x+1+lnx
(1+x)2
,令g(x)=x+1+lnx,將g(x)=lnx+x+1的零點看成y=lnx與y=-1-x的交點個數(shù)處理,得g(x)=lnx+x+1的零點只有一個,即為題中的x0,由此能求出結果.
解答: 解:∵f(x)=
lnx
1+x
-lnx,
f(x)=
1+x
x
-lnx
(1+x)2
-
1
x
=
1+x-xlnx
x(1+x)2
-
x2+2x+1
x(1+x)2
=-
x+1+lnx
(1+x)2
,
令g(x)=x+1+lnx,
將g(x)=lnx+x+1的零點看成y=lnx與y=-1-x的交點個數(shù)處理,
∴g(x)=lnx+x+1的零點只有一個,
即為題中的x0,且x0>1.故①錯誤,②正確;
∵g(x)=lnx+x+1的零點看成y=lnx與y=-1-x的交點,
∴-x0-1=lnx0,
∴f(x0)=
-x0lnx0
1+x0
=x0,故④正確,③⑤均錯誤.
故選:C.
點評:本題考查真假命題的判斷,是中檔題,解題時要注意導數(shù)性質(zhì)和函數(shù)零點性質(zhì)的合理運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若cos(α+10°)=
2
3
,則sin(α-80°)=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列是偶函數(shù)的是( 。
A、y=x 
1
2
B、y=x3
C、y=2|x|
D、y=x2+x

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如果集合M={y|y=
sinx
|sinx|
+
|cosx|
cosx
,x≠
2
,k∈Z},則M的真子集個數(shù)為(  )
A、3B、7C、15D、無窮多個

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設x為實數(shù),則f(x)與g(x)表示同一個函數(shù)的是(  )
A、f(x)=
x2
,g(x)=(
x
2
B、f(x)=
x2
,g(x)=|x|
C、f(x)=1,g(x)=(x-2)0
D、f(x)=
x+1
x2-1
,g(x)=
1
x-1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

當x∈(1,+∞)時,函數(shù)y=xa的圖象恒在y=x的下方,則a的取值范圍是(  )
A、0<a<1B、a<0
C、a<1且a≠0D、a>1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1,        x<1
1
f(x+1)
,x≥1
,則f(6)的值為( 。
A、
1
2
B、0
C、1
D、2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

與函數(shù)y=
1
x2-1
的定義域相同的函數(shù)是( 。
A、y=
x2-1
B、y=log2(x2-1)
C、y=
x-1
x+1
D、y=
1
x+1
x-1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(
x
+1)=x+2
x
,則f(x)的解析式可取為( 。
A、x2+1(x≥0)
B、x2-1(x≥1)
C、x2-1(x≥0)
D、x2+1(x≥1)

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