【題目】正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 已知對(duì)于任意的n∈Z+ , 均有Sn與1正的等比中項(xiàng)等于an與1的等差中項(xiàng).
(1)試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= ,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 求證:Tn< .
【答案】
(1)解:由題意得: ,故 …①,又 …②,
②﹣①得: ,整理得:(an+1+an)(an+1﹣an﹣2)=0.
由已知an>0,∴an+1+an>0,故an+1﹣an﹣2=0,
即an+1﹣an=2,所以數(shù)列{an}為公差d=2的等差數(shù)列.
又由 可得:a1=1,∴an=1+(n﹣1)2=2n﹣1
(2)解:由題意可得 ,
∴Tn=b1+b2+…+bn= [1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = [1﹣ ]<
【解析】(1)由條件等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的定義,求得:an+1﹣an=2,可得數(shù)列{an}為公差d=2的等差數(shù)列,再結(jié)合a1=1,求得{an}的通項(xiàng)公式.(2)先化簡數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,再利用裂項(xiàng)法求得它的前n項(xiàng)和,可得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí),掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系,以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于點(diǎn)M、N兩點(diǎn).
(1)求k的取值范圍;
(2)若 =12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求|MN|.
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【題目】某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲、乙兩種大樹各2株.設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和,且各株大樹是否成活互不影響.求移栽的4株大樹中:
(1)兩種大樹各成活1株的概率;
(2)成活的株數(shù)的分布列與期望.
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【題目】數(shù)列{an}中,a1=1,an , an+1是方程x2﹣(2n+1)x+ 的兩個(gè)根,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1 , ∠BAA1=60°.
(Ⅰ)證明:AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù), (其中, ),且函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合.
(1)求實(shí)數(shù), 的值;
(2)記函數(shù),是否存在最小的正常數(shù),使得當(dāng)時(shí),對(duì)于任意正實(shí)數(shù),不等式恒成立?給出你的結(jié)論,并說明結(jié)論的合理性.
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【題目】在數(shù)列{an}中,an>0,a1= ,如果an+1是1與 的等比中項(xiàng),那么a1+ + + +… 的值是 .
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【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知a=1,b=2,cosC=
(1)求△ABC的周長;
(2)求cos(A﹣C)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、B1C1的中點(diǎn),則異面直線EF與GH所成的角等于( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
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