Question

分別求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）離心率為

3

，焦點坐標(biāo)為(-5

3

，0)和(5

3

，0)的雙曲線
（2）離心率e=

1

2

，準(zhǔn)線方程為y=±4

3

的橢圓
（3）焦點在y軸的正半軸上，焦點到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線．

Answer 1

考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，由已知得：c=5

3

，

c

a

=

3

，由此能求出雙曲線的方程．
（2）由已知可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知得：

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4

3

，由此能求出橢圓的方程．
（3）當(dāng)拋物線的焦點在y軸的正半軸上，可設(shè)方程為x²=2py，由已知得p=4，由此能求出拋物線的方程．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
由已知得：c=5

3

，

c

a

=

3

，所以a=5，故b=

c2-a2

=5

2

…..（3分）
所以雙曲線的方程為：

x2

25

-

y2

50

=1…．（4分）
（2）由已知可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
由已知得：

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4

3

，解得a=2

3

，c=

3

….6分
所以b=

a2-c2

=3，所以橢圓的方程為：

y2

12

+

x2

9

=1…（8分）
（3）當(dāng)拋物線的焦點在y軸的正半軸上，可設(shè)方程為x²=2py
由已知得p=4，所以拋物線的方程為x²=8y…．（12分）

點評：本題考查雙曲線方程、橢圓方程、拋物線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓錐曲線的性質(zhì)的合理運用．