Question

9．已知矩形ABCD中，AB=2AD=4，E為CD的中點，沿AE將三角形AED折疊，使平面ADE⊥平面ABCE．
（1）求證：BE⊥AD；
（2）若CD=2$\sqrt{3}$，求直線AC與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得BE⊥AE，又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，利用面面垂直的性質定理證明BE⊥平面ADE，即可證明BE⊥AD；
（2）連接AC，令AC∩BE=P，連接DP，則∠APD為直線AC與平面BDE所成角．

解答 （1）證明：∵在矩形ABCD中，
AB=2，AD=1，E為CD的中點，
∴∠AED=45°，
同理∠CEB=45°，于是∠AEB=90°，
∴BE⊥AE．
∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE，
∴BE⊥AD；
（2）解：連接AC，令AC∩BE=P，連接DP，則∠APD為直線AC與平面BDE所成角．
△ACD中，AD=2，AC=$\sqrt{20}$，CD=2$\sqrt{3}$，
由余弦定理可得cos∠DAP=$\frac{3\sqrt{20}}{20}$．
在Rt△APD中，sin∠APD=cos∠DAP=$\frac{3\sqrt{20}}{20}$．
∴直線AC與平面BDE所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{20}}{20}$．

點評 熟練掌握線面、面面垂直的判定與性質定理、線面角的定義、余弦定理是解題的關鍵．