Question

已知橢圓C的左右頂點A₁，A₂恰好是雙曲線

x 2

3

-y ²=1的左右焦點，點P（1，

3

2

）在橢圓上．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點M，N，若線段MN的垂直平分線恒過定點B（0，-1），求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）求出雙曲線的焦點，即為橢圓的a=2，代入點P，解得b=1，進而得到橢圓的方程；
（Ⅱ）聯立直線方程和橢圓方程，消去y，得到二次方程，運用韋達定理和判別式大于0，再由垂直平分線的定義結合斜率公式即可得到方程，解不等式即可得到m的范圍．

解答： 解：（I）雙曲線

x2

3

+y²=1的左右焦點為（±2，0），
即A₁，A₂的坐標分別為（-2，0），（2，0），
設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則a=2，
將P（1，

3

2

）代入

x2

4

+

y2

b2

=1，得b=1，
則橢圓C的標準方程為

x2

4

+y²=1；
（Ⅱ）由

y=kx+m x2+4y2=4

，消去y，得
（4k²+1）x²+8mkx+4（m²-1）=0（*）
∵直線l與橢圓交于不同兩點，
∴△＞0，即m²＜4k²+1．①
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程（*）的兩個實數解，
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，
∴線段MN的中點為Q（-

4km

1+4k2

，

m

1+4k2

），
又∵線段MN的垂直平分線恒過點A（0，-1），
∴AQ⊥MN，
即-

m+4k2+1

4km

=-

1

k

，即3m=4k²+1（k≠0）②
由①，②得m²＜3m，0＜m＜3，又由②得m＞

1

3

，
∴實數m的取值范圍是（

1

3

，3）．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，考查直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．