Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F1 ， F2和上下兩個(gè)頂點(diǎn)B1 ， B2是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)F2 ， 斜率為k（k≠0）的直線與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線x=3于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為P，記直線PF2的斜率為k′．求證：kk′為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得a=2， ，c=1．

∴橢圓C的方程為

（2）解：設(shè)過(guò)點(diǎn)F2（1，0）的直線l的方程為：y=k（x﹣1）．

設(shè)點(diǎn)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），聯(lián)立 ，化為（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．

顯然△＞0，∴ ， （*）．

直線AE的方程為 ，直線AF的方程為 ，

令x=3，得點(diǎn)M ，N ．

∴點(diǎn)P ．

直線PF2的斜率為k′=

=

=

= ．

把（*）代入得k′= =﹣ ．

∴ 為定值

【解析】解：（1）由題意利用菱形和含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得a=2， ，c=1．即可得到橢圓C的方程．（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F2（1，0）的直線l的方程為：y=k（x﹣1）．設(shè)點(diǎn)E（x1 ， y1），F(xiàn)（x2 ， y2），與橢圓方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，．可得直線AE的方程及直線AF的方程，令x=3，得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．即可得到直線PF2的斜率為k′，把根與系數(shù)代入即可得出kk′為定值．