Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC₁上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S．則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．
①當0＜CQ＜

1

2

時，S為四邊形； 
②當CQ=

1

2

時，S不為等腰梯形；
③當

3

4

＜CQ＜1時，S為六邊形； 
④當CQ=1時，S的面積為

6

2

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：

分析：易知，過點A，P，Q的平面必與面ADA₁，BC₁C相交，且交線平行，據此，當Q為C₁C中點時，截面與面ADD₁交與AD₁，為等腰梯形，據此可以對①②進行判斷；
連接AP，延長交DC于一點M，再連接MQ并延長其交D₁D于N，連接AN，可見，截面此時不會與面ABB₁相交，據此判斷③，
當CQ=1時，截面為底為

2

，腰長為

5

2

的等腰梯形，由此可求其面積．判斷④．

解答： 解：連接AP并延長交DC于M，再連接MQ，
對于①，當0＜CQ＜

1

2

時，MQ的延長線交線段D₁D與點N，且N在D₁與D之間，連接AN，則截面為四邊形APQN；
特別的當Q為中點即CQ=

1

2

時，N點與D₁重合，此時截面四邊形APQN為等腰梯形，故①對，②錯；
當

3

4

＜CQ＜1時，MQ與DD₁延長線相交于一點N，再連接AN，與A₁D₁交于一點，此時截面是五邊形，故③錯；
當CQ=1時，MQ交DD₁延長線于N點，且DD₁=D₁N=1，連接AN交A₁D₁于的中點位置，此時，截面四邊形是邊長為

5

2

的菱形，其對角線長為正方體的對角線長

3

，另一條對角線長為面對角線長為

2

，所以s=

1

2

×

2

×

3

=

6

2

，故④正確．
故答案為①④．

點評：此題考查了截面的性質，關鍵是利用面面平行、面面相交的性質確定截面的頂點．