Question

已知連續(xù)不斷函數(shù)f（x）=cosx-x，x∈（0，

π

2

），g（x）=sinx+x-

π

2

，x∈（0，

π

2

），h（x）=xsinx+x-

π

2

，x∈（0，

π

2

）
（1）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

π

2

）上有且只有一個零點(diǎn)；
（2）現(xiàn)已知函數(shù)g（x），h（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞增，且都只有一個零點(diǎn)（不必證明），記三個函數(shù)f（x），g（x），h（x）的零點(diǎn)分別為x₁，x₂，x₃．
求證：①x₁+x₂=

π

2

；
②判斷x₂與x₃的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由零點(diǎn)存在性定理知f（x）在區(qū)間（0，

π

2

）上有零點(diǎn)，運(yùn)用單調(diào)性定義證明；f（x）在（0，

π

2

）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（2）將其變形為：cos（

π

2

-x₂）-（

π

2

-x₂）=0，即f（

π

2

-x₂）=0，在（0，

π

2

）上有唯一零點(diǎn)，從而有

π

2

-x₂=x₁，x₁+x₂=

π

2

，
Ⅰ）因?yàn)閤₂是g（x）的零點(diǎn)，所以有sinx₂+x₂-

π

2

=0，
Ⅱ）判斷x₂＜x₃，運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理和定義判斷證明即可．

解答： 解：（1）先證明f（x）在區(qū)間（0，

π

2

）上有零點(diǎn)：由于f（0）=1＞0，f（

π

2

）=-

π

2

，
由零點(diǎn)存在性定理知f（x）在區(qū)間（0，

π

2

）上有零點(diǎn)，
再證明f（x）在（0，

π

2

）上是單調(diào)遞減函數(shù)：
設(shè)0＜x₁＜x₂＜

π

2

，
f（x₁）-f（x₂）=（cosx_x-x₁）-（cosx₂-x₂）=（cosx₁-cosx₂）-（x₁-x₂）
由于y=cosx在（0，

π

2

）上遞減，
所以cosx₁-cosx₂＞0又-（x₁-x₂）＞0
從而f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（0，

π

2

）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
故函數(shù)f（x）在（0，

π

2

）有且只有一個零點(diǎn)，
（2）Ⅰ）因?yàn)閤₂是g（x）的零點(diǎn)，所以有sinx₂+x₂-

π

2

=0，
將其變形為：cos（

π

2

-x₂）-（

π

2

-x₂）=0，即f（

π

2

-x₂）=0，
從而有f（

π

2

-x₂）=f（x₁）=0，
又因?yàn)?span id="suotwud" class="MathJye">

π

2

-x₂，x₁∈（0，

π

2

），且由（1）的結(jié)論f（x）
在（0，

π

2

）上有唯一零點(diǎn)，
從而有

π

2

-x₂=x₁，x₁+x₂=

π

2

，
Ⅱ）判斷x₂＜x₃，證明如下：由于h（0）=-

π

2

＜0，h（1）=sin1=1-

π

2

＞sin

π

4

+1-

π

2

=

2

2

+1-

π

2

，
由零點(diǎn)存在性定理和已知得0＜x₃＜1，
從而有   0=x₃sinx₃+x₃-

π

2

＜sinx₃+x₃-

π

2

=g（x₃），g（x₂）=0
所以有g(shù)（x₂）＜g（x₃），
又由已知g（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞增，所以x₂＜x₃．

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，零點(diǎn)問題，分類轉(zhuǎn)化，不等式問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，屬于難題．