Question

某校為規(guī)范學(xué)生的行為，制定出一套科學(xué)有效的“德語百分制量化考核制度”，一領(lǐng)導(dǎo)小組將該校高三年級1200個學(xué)生隨機編號為1、2、…、1200，現(xiàn)將編號能被30整除的40名學(xué)生抽取出來進行座談，并將他們的考核分分成六段：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，統(tǒng)計后得到如圖的頻率分布直方圖：
（Ⅰ）此采樣中，用到的是什么抽樣方法？并求這40名學(xué)生考核分的眾數(shù)的估計值；
（Ⅱ）在此樣本中若從考核分在[75，85）的同學(xué)中任意抽取3人，求考核分在[75，80）和[80，85）內(nèi)部都有學(xué)生的概率；
（Ⅲ）在此樣本中若從考核分在[70，80）的同學(xué)中任意抽取4人，求考核分在[75，80）的學(xué)生人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：頻率分布直方圖,離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)采樣的方法，符合系統(tǒng)抽樣方法特征，根據(jù)頻率分布直方圖，得出這40名學(xué)生考核分的眾數(shù)估計值；
（Ⅱ）考核分在[75，85）內(nèi)的學(xué)生數(shù)，計算基本事件數(shù)，求出對應(yīng)的概率；
（Ⅲ）計算在[70，80）內(nèi)的同學(xué)數(shù)，求出X的可能取值以及對應(yīng)的概率，計算數(shù)學(xué)期望即可．

解答： 解：（Ⅰ）此采樣中，是按編號把能被30整除的40名學(xué)生抽取出來，是系統(tǒng)抽樣方法；
又根據(jù)頻率分布直方圖，得；
∴得分在[85，90）對應(yīng)的小長方形最高，
∴這40名學(xué)生考核分的眾數(shù)估計值為

85+90

2

=87.5；
（Ⅱ）考核分在[75，80）內(nèi)的同學(xué)有40×0.02×5=4，
在[80，85）內(nèi)的同學(xué)有40×0.04×5=8人，
從這4+8=12人中任意抽取3人，基本事件數(shù)是

C

3 12

=220，
考核分在[75，80）和[80，85）內(nèi)部都有學(xué)生的基本事件數(shù)是

C

1 4

•

C

2 8

+

C

2 4

•

C

1 8

=160，
∴對應(yīng)的概率為P=

160

220

=

8

11

；
（Ⅲ）此樣本中考核分在[70，75）內(nèi)的學(xué)生有40×0.01×5=2人，
[75，80）內(nèi)的學(xué)生有4人，
∴在[70，80）的同學(xué)中共有4+2=6人，任意抽取4人時，
考核分在[75，80）的學(xué)生人數(shù)X的可能取值為2、3、4；
且P（X=2）=

C 2 2 •C 2 4

C 4 6

=

2

5

，
P（X=3）=

C 1 2 •C 3 4

C 4 6

=

8

15

，
P（X=4）=

C 0 2 •C 4 4

C 4 6

=

1

15

；
∴X的數(shù)學(xué)期望為EX=2×

2

5

+3×

8

15

+4×

1

15

=2．

點評：本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了抽樣方法的判斷以及離散型隨機變量的期望的應(yīng)用問題，是綜合性題目．