Question

從0，1，2，3，4中抽取三個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，余下的兩個(gè)數(shù)是遞增等差數(shù)列{a_n}的前兩項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記T_n=

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an+1an+2

，對(duì)任意n∈N^*，都有T_n＜m²，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）只能由1，2，4，三個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，因此剩下的兩個(gè)數(shù)：0，3，為遞增等差數(shù)列{a_n}的前兩項(xiàng)．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由（1）可得a_n=3n-3，a_n+1=3n，當(dāng)n≥2時(shí)，

1

anan+1

=

1

9n(n-1)

=

1

9

(

1

n-1

-

1

n

)．利用“裂項(xiàng)求和”可得T_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出m的取值范圍．

解答： 解：（1）只能由1，2，4，三個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，因此剩下的兩個(gè)數(shù)：0，3，為遞增等差數(shù)列{a_n}的前兩項(xiàng)．
∴首項(xiàng)為0，公差為3，
∴a_n=0+3（n-1）=3n-3．
（2）由（1）可得a_n=3n-3，a_n+1=3n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

1

anan+1

=

1

9n(n-1)

=

1

9

(

1

n-1

-

1

n

)．
∴T_n=

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

an+1an+2

=

1

9

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

9

(1-

1

n+1

)=

n

9n+9

．
∵對(duì)任意n∈N^*，都有T_n＜m²，
∴m²≥

1

9

，
解得m≥

1

3

或m≤-

1

3

．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥

1

3

或m≤-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．