Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求的單調區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)與圖象在上有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）將代入函數(shù)的解析式，求出該函數(shù)的定義域和導數(shù)，然后分別解不等式和可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；

（Ⅱ）令得出，問題轉化為：當直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點時，求實數(shù)的取值范圍，并利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性、極值和端點函數(shù)值，利用數(shù)形結合思想可得出實數(shù)的取值范圍，即可求出實數(shù)的取值范圍.

（Ⅰ）當時，，定義域為，

且.

令，即，解得；

令，即，解得.

因此，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間；

（Ⅱ）由已知得：在有兩個不相等的實數(shù)根.

令，，由得.

當時，，此時，函數(shù)為減函數(shù)；

當時，，此時，函數(shù)為增函數(shù).

所以，函數(shù)在處取得極小值，

又，且，

當時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，，

因此，實數(shù)的取值范圍是.