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7.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x-π3)+2cos2x+a-1(a為常數(shù)),若函數(shù)f(x)的最大值為2+1.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)求函數(shù)f(x)所有對稱中心的坐標;
(3)求函數(shù)g(x)=f(x+38π)+2減區(qū)間.

分析 (1)利用兩角和與差的正弦、輔助角公式可化簡f(x)=2sin(2x+π4)+a,再由f(x)max=2+1即可求得實數(shù)a的值;
(2)由2x+π4=kπ(k∈Z)可求得函數(shù)f(x)所有對稱中心的坐標;
(3)化簡函數(shù)g(x)=f(x+38π)+2=-2sin2x+3,再由2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2(k∈Z)即可求得函數(shù)g(x)=f(x+38π)+2減區(qū)間.

解答 (本小題滿分12分)
解:(1)f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x-π3)+2cos2x+a-1
=12sin2x+32cos2x+12sin2x-32cos2x+cos2x+a
=sin2x+cos2x+a
=2sin(2x+π4)+a,…(2分)
由f(x)max=2+1得a=1 …(4分)
(2)由2x+π4=kπ(k∈Z)得:x=k2π-π8(k∈Z),
所以,函數(shù)f(x)所有對稱中心的坐標為(k2π-π8,1),k∈Z.…(8分)
(3)g(x)=f(x+38π)+2=2sin[2(x+3π8)+π4]+1+2
=-2sin2x+3,…(10分)
由2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2(k∈Z)得:
單調遞減區(qū)間為[kπ-π4,kπ+π4](k∈Z) …(12分)

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用,著重考查兩角和與差的正弦、輔助角公式的應用及正弦函數(shù)的圖象與性質,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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