Question

【題目】如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，.

（1）求證：；

（2）若為線段的中點(diǎn)，求證：平面；

（3）求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面，由線面垂直的定義即可證得．

（2）延長交于點(diǎn)，由題意可證得四邊形為平行四邊形，據(jù)此結(jié)合線面平行的判定定理證明題中的結(jié)論即可；

（3）設(shè)為中點(diǎn)，連接，．將多面體分割為兩部分，分別求解對應(yīng)的體積，然后相加即可確定多面體的體積.

（1）證明：因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，所以．

又因?yàn)槠矫?/span>平面，

且平面平面， 平面，

所以平面．

又平面，所以．

（2）延長交于點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，為中點(diǎn)，

所以≌，

所以．

因?yàn)?/span>，所以．

由已知，且,

又因?yàn)?/span>，所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以．

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面．

（3）設(shè)為中點(diǎn)，連接，．

由已知，所以平面．

又因?yàn)?/span>，所以平面，

所以平面平面．

因?yàn)?/span>，，所以平面，

所以多面體為直三棱柱．

因?yàn)?/span>，且，

所以．

由已知，且，

所以，且．

又因?yàn)?/span>，平面，

所以平面．

因?yàn)?/span>，

所以，

所以．