Question

（1）已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，且當(dāng)x∈R時，f（2+x）=f（2-x）恒成立，求證y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱
（2）若函數(shù)y=log₂|ax+1|的圖象的對稱軸是x=2，求非零實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)P（x₀，y₀）是函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點，則y₀=f（x₀），又P點關(guān)于x=2的對稱點為Q（4-x₀，y₀），證明點Q在函數(shù)y=f（x）圖象上；
（2）由題意，|a（2-x）+1|=|a（2+x）+1|恒成立，即|-ax+（2a+1）|=|xa+（2a+1）|恒成立，從而得2a+1=0．

解答： 解：（1）證明：設(shè)P（x₀，y₀）是函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點，則y₀=f（x₀），
又P點關(guān)于x=2的對稱點為Q（4-x₀，y₀），
由已知f（2+x）=f（2-x）可得，
f（4-x₀）=f（2+（2-x₀））=f（2-（2-x₀））=f（x₀）=y₀，
即Q在函數(shù)y=f（x）圖象上，
則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱．
（2）∵對定義域同的任意x，有f（2-x）=f（2+x）恒成立，
∴|a（2-x）+1|=|a（2+x）+1|恒成立，
即|-ax+（2a+1）|=|xa+（2a+1）|恒成立，
又∵a≠0，
∴2a+1=0，
∴a=-

1

2

．

點評：本題考查了函數(shù)圖象對稱性的證明與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．