Question

已知直線l的方程為：y=-

5

2

（x-1），直線l與x軸的交點(diǎn)為F，圓O的方程為：x²+y²=4，C、D在圓上，CF⊥DF，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為M．
（1）如果CFDG為平行四邊形，求動點(diǎn)G的軌跡；
（2）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，又

AF

=2

FB

，求橢圓C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得F（1，0），設(shè)CD中點(diǎn)M（x₀，y₀），由題意得MF²=R²-OM²，由此利用相關(guān)點(diǎn)法能求出動點(diǎn)G的軌跡．
（2）設(shè)直線y=-

5

2

（x-1）與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AF

=-2

BF

，得y₁=-2y₂，將x=-

2

5

y+1代入b²x²+a²y²=a²b²中，得（

4

5

b2+a2）y²-

4

5

b2y+b²（1-a²）=0，由此利用韋過定理能求出橢圓方程．

解答： 解：（1）∵直線l的方程為：y=-

5

2

（x-1），直線l與x軸的交點(diǎn)為F，
∴F（1，0），設(shè)CD中點(diǎn)M（x₀，y₀），
由題意得MF²=R²-OM²，
x02-x0+y02-

3

2

=0，
由相關(guān)點(diǎn)法求得軌跡：（x+1）²-2（x+1）+y²-6=0，
x²+y²-6=0．
（2）設(shè)直線y=-

5

2

（x-1）與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

AF

=-2

BF

，得y₁=-2y₂，
將x=-

2

5

y+1代入b²x²+a²y²=a²b²中，
整理，得（

4

5

b2+a2）y²-

4

5

b2y+b²（1-a²）=0，
韋達(dá)定理知y1+y2=

4 5 b2

4 5 b2+a2

=-y2，y1•y2=

b2(1-a2)

4 5 b2+a2

=-2y22，
由

①2

②

，得：32b²=（4b²+5a²）（a²-1），
又a²-b²=1，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查橢圓方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意相關(guān)點(diǎn)法的合理運(yùn)用．