如圖,過(guò)拋物線(xiàn)C1:x2=2py(p>0)上第一象限內(nèi)的點(diǎn)P作C1的切線(xiàn),依次交拋物線(xiàn)C2:x2=-2py于點(diǎn)Q,R,過(guò)Q,R分別作C2的切線(xiàn),兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)M.
(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,
p
2
),且過(guò)拋物線(xiàn)C1:x2=2py上的點(diǎn)P的切線(xiàn)點(diǎn)(1,0),求拋物線(xiàn)C1的方程;
(2)在(1)的條件下,(i)證明:點(diǎn)M在拋物線(xiàn)C1上;
(ii)連接MP,是否存在常數(shù)λ,使得S△PQM=λS△MQR?若存在,求出滿(mǎn)足條件的常數(shù)λ,若不存在,說(shuō)明理由.
考點(diǎn):直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題:圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)的方程,把點(diǎn)(1,0)代入即可得出p;
(2)(i)設(shè)點(diǎn)M,Q,R的坐標(biāo)分別是(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),分別得出過(guò)點(diǎn)Q的切線(xiàn)方程、過(guò)點(diǎn)R的切線(xiàn)方程,把直線(xiàn)QR的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,切線(xiàn)方程聯(lián)立即可得出交點(diǎn)M的坐標(biāo),驗(yàn)證即可;
(ii)由(i)可得x1=2
2
-2,x1-x2=
(x1+x2)2-4x1x2
=4
2
,即可得出
S△PQM
S△MQR
=
|PQ|
|QR|
=
2-x1
x1-x2
為定值.
解答: 解:(1)由題意,對(duì)拋物線(xiàn)C1求導(dǎo)得y′=
1
p
x

∴過(guò)拋物線(xiàn)C1x2=2py上的點(diǎn)P(p,
p
2
)
的切線(xiàn)過(guò)程為y-
p
2
=
p
p
(x-p)

將(1,0)代入切線(xiàn)方程,解得p=2,
∴拋物線(xiàn)C1的方程為x2=4y.  
(2)(i)由(1)得拋物線(xiàn)C2的方程為x2=-4y,
設(shè)點(diǎn)M,Q,R的坐標(biāo)分別是(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),
則過(guò)點(diǎn)Q的切線(xiàn)方程為y-y1=-
x1
2
(x-x1)
,即y=-
x1
2
x+
x
2
1
4
,
過(guò)點(diǎn)R的切線(xiàn)方程為y-y2=-
x2
2
(x-x2)
,即y=-
x2
2
x+
x
2
2
4
.  
由(1)知直線(xiàn)QR的方程為y=x-1,由
x2=-4y
y=x-1
,得x2+4x-4=0,
∴x1+x2=-4,x1x2=-4,
y=-
x1
2
x+
x
2
1
4
y=-
x2
2
x+
x
2
2
4
,得x0=
x1+x2
2
=-2
,
y0=-
x1
2
x1+x2
2
+
x
2
1
4
=-
x
2
1
+x1x2
4
+
x
2
1
4
=-
x1x2
4
=1

即M(-2,1),而(-2)2=4×1,
∴點(diǎn)M在拋物線(xiàn)C1上.  
(ii)由(i)可得x1=2
2
-2,x1-x2=
(x1+x2)2-4x1x2
=4
2
,
S△PQM
S△MQR
=
|PQ|
|QR|
=
2-x1
x1-x2
=
2-(2
2
-2)
4
2
=
2-
2
2
2
=
2
-1
2
,
即存在滿(mǎn)足條件的常數(shù)λ=
2
-1
2
,使得S△PQM=
2
-1
2
S△MQR
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切線(xiàn)的方程、三角形的面積計(jì)算公式,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,則下列一定是△ABC面積的是( 。
A、
1
2
ab
B、
1
2
abtanC
C、
1
2
abcosC
D、
1
2
absinC

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知平面上的線(xiàn)段l及點(diǎn)P,任取l上一點(diǎn)Q,線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為點(diǎn)P到線(xiàn)段l的距離,記作d(P,l).
(Ⅰ)求點(diǎn)P(1,1)到線(xiàn)段l:x-y-3=0,(3≤x≤5)的距離d(P,l);
(Ⅱ)設(shè)l是長(zhǎng)為2的線(xiàn)段,求點(diǎn)的集合D={P|d(P,l)≤1}所表示的圖形面積;
(Ⅲ)寫(xiě)出到兩條線(xiàn)段l1,l2距離相等的點(diǎn)的集合Ω={P|d(P,l1)=d(P,l2)},并在直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的軌跡.其中l(wèi)1=AB,l2=CD,A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=lg
1+2x+4xa
3
在(-∞,1]恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=(
1
3
t(t≤1),求該函數(shù)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)f(x)=loga
ax+1
m
),(a>0,a≠1).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;并求函數(shù)y=f(x)在定義域R上的解析式;
(2)求證:函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直線(xiàn)l的方程為:y=-
5
2
(x-1),直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為F,圓O的方程為:x2+y2=4,C、D在圓上,CF⊥DF,設(shè)線(xiàn)段CD的中點(diǎn)為M.
(1)如果CFDG為平行四邊形,求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡;
(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn),右焦點(diǎn)為F,直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn),又
AF
=2
FB
,求橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

用圖象法判斷方程解的個(gè)數(shù):
(1)
x
=x-1;
(2)x3=x2-3.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ax2+1
bx+c
(a,c∈R,a>0,b∈N*)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)有最小值2,且f(1)<
5
2

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)解關(guān)于x的不等式f(x)≥mx.

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