如圖所示，△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，AB=l，BC=2，D為BC的中點(diǎn)．直線l過(guò)點(diǎn)A垂直于平面ABC，P是l上異于A的點(diǎn)．

證明：(1)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有∠BPD＜∠BAD；

(2)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD＜∠CAD并不恒成立．

答案：略
解析：

證明：(1)因?yàn)?/FONT>PA⊥平面ABC所以PA⊥CB，又因?yàn)?/FONT>CB⊥AB，PA∩AB=A所以CB⊥面PAB，所以CB⊥PB，于是，而這兩個(gè)角都是銳角，所以∠BPD＜∠BAD．

(2)∠CPD、∠CAD都是銳角，故∠CPD＜∠CADcos∠CPD＞cos∠CAD．

要證cos∠CPD＞cos∠CAD不恒成立，也就是要證明存在點(diǎn)P，使得cos∠CPD≤cos∠CAD成立．

令PA=x≠0，在Rt△PAB中，，

在Rt△PBD中，，在Rt△PBC中，，在△PCD中，由余弦定理可得，在△ADC中，易求，故只要證明不等式有非零解即可，而它等價(jià)于，顯然有非零解，故P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD＜∠CAD并不恒成立．


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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=
2
a．
（1）求證：面PAB⊥面ABC；
（2）求PC和△ABC所在平面所成角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2DC，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)．求證：
（1）DF∥平面ABC；
（2）AF⊥BD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，且AB=AC，AP是∠BAC的外角的平分線，弦CE的延長(zhǎng)線交AP于點(diǎn)D.求證：AD2=DE·DC.

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如圖所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD．

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