Question

2012年倫敦奧運會倫敦站的火炬?zhèn)鬟f中邀請了5位奧運冠軍和3位歌手參加傳遞，
（Ⅰ） 若3位歌手互不相鄰，求倫敦站的不同傳遞方案的種數(shù)．（直接用數(shù)字作答）
（Ⅱ）在這8位參加傳遞的人中選3人參加一項奧運宣傳活動，用X表示參加此次宣傳活動的歌手的人數(shù)．
①列出X的所有可能的取值結(jié)果；        
②求隨機變量X的分布列；   
③求參加此次活動的人中歌手至少有2名的概率．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由3位歌手互不相鄰，利用插空法能求出倫敦站的不同傳遞方案的種數(shù)．
（2）X的所有可能的取值結(jié)果為：0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和概率．

解答： 解：（1）∵3位歌手互不相鄰，
∴倫敦站的不同傳遞方案的種數(shù)為：

A

5 5

•

A

3 6

=14400．…（2分）
（2）①X的所有可能的取值結(jié)果為：0，1，2，3．…（3分）
②P(X=0)=

C 3 5 C 0 3

C 3 8

=

5

28

，P(X=1)=

C 2 5 C 1 3

C 3 8

=

15

28

，P(X=2)=

C 1 5 C 2 3

C 3 8

=

15

56

，P(X=0)=

C 0 5 C 3 3

C 3 8

=

1

56

所以隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	5 28	15 28	15 56	1 56

…（10分）
③參加此次活動的人中歌手至少有2名的概率為：P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=

15

56

+

1

56

=

2

7

…（13分）..

點評：本題考查的不同傳遞方案的種數(shù)的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．