Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n+1=2a_n+1，a₁=1，n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）若b_n=

log2(an+1)

2n

，且T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+1=2a_n+2=2（a_n+1）即

an+1

an

=2數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式．
（2）先求出b_n=

log2(an+1)

2n

=

n

2n

，利用錯(cuò)位相減的方法求出T_n．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1=2a_n+2=2（a_n+1），
∴

an+1

an

=2，
又a₁=1，
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2n-1．
（2）b_n=

log2(an+1)

2n

=

n

2n

，
∴Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

∴Tn=2-

n+2

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求通項(xiàng)的方法、數(shù)列求前n項(xiàng)和的方法；關(guān)鍵是求出通項(xiàng)據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的方法，屬于一道中檔題．