Question

設(shè)f（x）=

p

•

q

，而

p

=（2-4sin²

ωx

2

，1），

q

=（cosωx，

3

sin2ωx）（x∈R）．
（1）若f（

π

3

）最大，求ω能取到的最小正數(shù)值；
（2）對(duì)（1）中的ω，若f（x）=2

3

sinx+1且x∈（0，

π

2

），求tanx．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得f（x）═2sin(2ωx+

π

6

)+1．再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）由f（x）=2

3

sinx+1=2sin(x+

π

6

)+1，化簡(jiǎn)展開(kāi)即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

p

•

q

=(2-4sin2

ωx

2

)cosωx+

3

sin2ωx=2cos²ωx+

3

sin2ωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx+1=2sin(2ωx+

π

6

)+1．
∵f（

π

3

）最大，∴sin(2ω+

π

6

)=1，
∴

2π

3

ω+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
當(dāng)k=0時(shí)，ω能取到的最小正數(shù)值

1

2

．
（2）∵f（x）=2

3

sinx+1=2sin(x+

π

6

)+1，
∴

3

sinx=

3

2

sinx+

1

2

cosx，化為

3

sinx=cosx，
∵x∈（0，

π

2

），∴tanx=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．