Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，A（-2，0），T（4，0），過點T任作直線l交橢圓于P，Q兩點，連接AP，AQ交直線x=1于M，N，設(shè)點M，N的縱坐標為y₁，y₂，證明：y₁y₂為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：如圖所示，設(shè)直線l的方程為x=my+4．P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系．直線AP的方程為：y=

y3

x3+2

(x+2)，令x=1，則y₁=

3y3

my3+6

；直線AQ的方程為：y=

y4

x4+2

(x+2)，令x=1，則y₂=

3y4

my4+6

．即可證明y₁y₂為定值．

解答： 解：如圖所示，
設(shè)直線l的方程為x=my+4．
P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
聯(lián)立

x=my+4 x2 4 + y2 3 =1

，
化為（3m²+4）y²+24my+36=0，
△＞0，化為m²＞4．
∴y₃+y₄=-

24m

3m2+4

，y₃y₄=

36

3m2+4

．
直線AP的方程為：y=

y3

x3+2

(x+2)，
令x=1，則y₁=

3y3

my3+6

；
直線AQ的方程為：y=

y4

x4+2

(x+2)，
令x=1，則y₂=

3y4

my4+6

．
∴y₁y₂=

9y3y4

m2y3y4+6m(y3+y4)+36

=

9×36 3m2+4

36m2 3m2+4 - 144m2 3m2+4 +36

=

9

4

為定值．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、定值問題，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．