Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

an(an+1)

2

，n∈N₊．求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析：由已知遞推公式可先求a₁，然后利用a_n=S_n-S_n-1即可證明

解答：證明：∵S_n=

an(an+1)

2

∴S1=

a1(1+a1)

2

∴a₁=1…（1分）
由

2Sn= a 2 n +an 2Sn-1= a 2 n-1 +an-1

⇒2an=2(Sn-Sn-1)=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1…（3分）
所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=1
所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列  …（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的和與項(xiàng)之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用，及等差數(shù)列的定義在等差數(shù)列的證明中的應(yīng)用．