Question

已知f（x）是二次函數(shù)，若f（0）=0，f（1）=2，且不等式f（x）≥3x-1對x∈R恒成立．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=2kx-k²+3的兩根為x₁，x₂，且滿足x₁+1=2x₂，求實數(shù)k的值．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，則由f（0）=0，f（1）=2，求得f（x）=ax²+（2-a）x．再根據(jù)ax²-（a+1）x+1≥0 恒成立，故有

a＞0 △=(a+1)2-4a≤0

，求得a的值，可得f（x）的解析式．
（Ⅱ）若方程f（x）=2kx-k²+3的兩根為x₁，x₂，則由題意可得

x1+x2=2k-1 x1•x2=k2-3 x1+1=2x2

，化簡可得k²+6k-27=0，由此解得k的值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，則由f（0）=0，f（1）=2，
可得c=0，a+b=2，∴f（x）=ax²+（2-a）x．
再根據(jù)f（x）≥3x-1對x∈R恒成立，可得ax²+（2-a）x≥3x-1對x∈R恒成立，
即ax²-（a+1）x+1≥0 恒成立，故有

a＞0 △=(a+1)2-4a≤0

，a=1，
∴f（x）=x²+x．
（Ⅱ）若方程f（x）=2kx-k²+3的兩根為x₁，x₂，即x²-（2k-1）x+k²-3=0的兩根為x₁，x₂，
則由題意可得

x1+x2=2k-1 x1•x2=k2-3 x1+1=2x2

，化簡可得k²+6k-27=0，解得k=-9，或k=3，
都滿足判別式△≥0，故k=-9，或k=3．

點評：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．