Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）若f（1）=2，當函數(shù)y=f（x）存在極值時，求函數(shù)f（x）極小值的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）已知函數(shù)的解析式f（x）=x³-3ax+b，把點（2，f（2））代入，再根據(jù)f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，求出a，b的值；
（II）由題意先對函數(shù)y進行求導(dǎo)，解出極值點，然后求出極值，然后在利用導(dǎo)數(shù)研究極值的最值即可求出函數(shù)f（x）極小值的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，
∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，
∴

f′(2)=0 f(2)=8

⇒

3(4-a)=0 8-6a+b=8

⇒

a=4 b=24.

（Ⅱ）b=3a+1∵f′（x）=3（x²-a）（a≠0），
當a＜0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f（x）沒有極值點．
當a＞0時，由 f′(x)=0⇒x=±

a

，
當 x∈(-∞，-

a

)時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當 x∈(-

a

，

a

)時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當 x∈(

a

，+∞)時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴此時 x=-

a

是f（x）的極大值點，x=

a

是f（x）的極小值點．
所以，極小值為f（

a

）=3a-2a

a

+1，t=

a

，
h（t）=-2t³+3t²+1，h′（t）=-6t²+6t=-6t（t-1），t∈（0，+∞），
在（0，1）增，（1，+∞）減，所以最大值為2，所求為（-∞，2]（共10分）

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、以及研究函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力．