Question

對(duì)于，定義一個(gè)如下數(shù)陣：

其中對(duì)任意的，，當(dāng)能整除時(shí)，；當(dāng)不能整除時(shí)，．設(shè)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，試寫出數(shù)陣并計(jì)算；
（Ⅱ）若表示不超過的最大整數(shù)，求證：；
（Ⅲ）若，，求證：．

Answer 1

 （Ⅰ）解：依題意可得，
　．
　 ．
（Ⅱ）解：由題意可知，是數(shù)陣的第列的和，
因此是數(shù)陣所有數(shù)的和．
而數(shù)陣所有數(shù)的和也可以考慮按行相加．
對(duì)任意的，不超過的倍數(shù)有，，…，．
因此數(shù)陣的第行中有個(gè)１，其余是，即第行的和為．
所以．
（Ⅲ）證明：由的定義可知，，
所以．
所以．
考查定積分，
將區(qū)間分成等分，則的不足近似值為，
的過剩近似值為．
所以．
所以．
所以．
所以．

略