Question

已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；
(2)當(dāng)時(shí)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，求實(shí)數(shù)的值；
(3)設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為當(dāng)時(shí)，若在內(nèi)恒成立，則稱(chēng)為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”．當(dāng)時(shí)，試問(wèn)函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.若存在,請(qǐng)求出“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(1)  ；(2) ；(3)參考解析

試題分析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值，即對(duì)函數(shù)求導(dǎo)通過(guò)求出極值點(diǎn)，即可求出極小值.
(2)過(guò)曲線外一點(diǎn)作曲線的切線，是通過(guò)求導(dǎo)得到切線的斜率等于切點(diǎn)與這點(diǎn)斜率.建立一個(gè)等式，從而確定切點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小，由于該方程不能直接求解，所以通過(guò)估算一個(gè)值，在證明該函數(shù)的單調(diào)性，即可得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(3)因?yàn)楦鶕?jù)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為當(dāng)時(shí)，若在內(nèi)恒成立，則稱(chēng)為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”．該定義等價(jià)于切線穿過(guò)曲線，在的兩邊的圖像分別在的上方和下方恒成立.當(dāng)時(shí)，通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性即最值即可得結(jié)論.
試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).
所以當(dāng)時(shí)，取到極小值.
(2)，所以切線的斜率
整理得,顯然是這個(gè)方程的解，
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824034559944622.png" style="vertical-align:middle;" />在上是增函數(shù)，
所以方程有唯一實(shí)數(shù)解，故.
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在其圖象上一點(diǎn)處的切線方程為
，
設(shè)，則，
若，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)；
所以在上不存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.
若時(shí),在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí), ，此時(shí)，
所以在上不存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.
若時(shí)，即在上是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，， 即點(diǎn)為“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，
故函數(shù)存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，且是“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo).