Question

已知橢圓與雙曲線

y2

4

-

x2

12

=1的焦點相同，且它們的離心率之和等于

14

5

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過橢圓內一點M（1，1）作一條弦AB，使該弦被點M平分，求弦AB所在直線方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）求出橢圓的焦點和離心率，進而得到雙曲線的離心率和焦點，再由橢圓的a，b，c的關系，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）設出弦AB的端點的坐標，代入橢圓方程和中點坐標公式，運用作差，結合平方差公式和斜率公式，由點斜式方程即可得到直線AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）雙曲線

y2

4

-

x2

12

=1的焦點為（0，4），（0，-4），
離心率為

4

2

=2，
則橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
且離心率e=

c

a

=

14

5

-2=

4

5

，
由于c=4，則a=5，b=

a2-b2

=3，
則橢圓方程為

y2

25

+

x2

9

=1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，

y12

25

+

x12

9

=1，

y22

25

+

x22

9

=1，
兩式相減可得，

(y1-y2)(y1+y2)

25

+

(x1-x2)(x1+x2)

9

=0，
即有k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

25

9

，
則直線AB所在方程為y-1=-

25

9

（x-1），
由于M在橢圓內，則弦AB存在．
則所求直線AB的方程為25x+9y-34=0．

點評：本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質，考查離心率的求法，考查中點坐標公式和點差法的運用，考查運算能力，屬于中檔題．