分析 (1)解不等式,根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得到關(guān)于a的方程組,求出a的值即可;(2)法一:通過討論x的范圍,求出g(x)的最小值從而求出m的范圍即可;法二:根據(jù)絕對值不等式的意義求出g(x)的最小值,求出m的范圍即可.
解答 解:(1)由f(x)≤1得|x-a|≤1,
解得a-1≤x≤a+1.-------(2分)
又已知不等式f(x)≤1的解集為{x|1≤x≤3},
所以{a−1=1a+1=3解得a=2.-------(4分)
(2)法一:當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x-2|,
設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x-2|+|x+3|={−2x−1,x<−35,−3≤x≤22x+1,x>2---(6分)
所以當(dāng)x<-3時(shí),g(x)>5; 當(dāng)-3≤x≤2時(shí),g(x)=5;
當(dāng)x>2時(shí),g(x)>5.綜上可得,g(x)的最小值為5.---(8分)
存在實(shí)數(shù)x,使得m≥f(x)+f(x+5)成立,
則m≥[f(x)+f(x+5)]min,
所以m的取值范圍為[5,+∞)-------(10分)
法二:當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x-2|,
設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5),
由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(當(dāng)且僅當(dāng)-3≤x≤2時(shí)等號成立),
得g(x)的最小值為5.------(8分)
存在實(shí)數(shù)x,使得m≥f(x)+f(x+5)成立,
則m≥[f(x)+f(x+5)]min,
從而m的取值范圍為[5,+∞)-----(10分)
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的最值問題,考查解絕對值不等式問題以及分類討論思想,是一道中檔題.
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