Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+3f（-x）=8ax²-

2

x

（a∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）若函數(shù)f（x）始終滿足x₁-x₂與f（x₁）-f（x₂）同號（其中x₁，x₂∈[3，+∞），x₁≠x₂），求實數(shù)a
的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）由f（x）+3f（-x）=8ax²-

2

x

（a∈R）．可得f（-x）+3f（x）=8ax²+

2

x

（a∈R）．聯(lián)立解得即可．
（2）分類討論：a=0與a≠0，利用函數(shù)的奇偶性定義即可判斷出；
（3）法一：利用函數(shù)的單調(diào)性定義即可得出；
法二：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵f（x）+3f（-x）=8ax²-

2

x

（a∈R）．
∴f（-x）+3f（x）=8ax²+

2

x

（a∈R）．
由兩式可得f(x)=2ax2+

1

x

．
（2）f（x）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞） 
當a=0時，f(x)=

1

x

，f(-x)=

1

-x

=-

1

x

=-f(x)，
∴a=0時f（x）為奇函數(shù)．
當a≠0時，f（-x）≠±f（x），
函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．）
（3）由題意可知函數(shù)f（x）在x∈[3，+∞上為增函數(shù)．
設3≤x₁＜x₂，要使函數(shù)f（x）在x∈[3，+∞）上為增函數(shù)，
法一：必須f(x1)-f(x2)=2a

x

2 1

+

1

x1

-2a

x

2 2

-

1

x2

=

(x1-x2)

x1x2

[2ax1x2(x1+x2)-1]＜0，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞9，
∴2ax₁x₂（x₁+x₂）＞1．
∵x₁+x₂＞6，∴x₁x₂（x₁+x₂）＞54．
∴

1

x1x2(x1+x2)

＜

1

54

 
要使a＞

1

2x1x2(x1+x2)

，
∴a的取值范圍是[

1

108

，+∞)．
法二：f′(x)=4ax-

1

x2

≥0 在[3，+∞）上恒成立，
所以4a≥

1

x3

 在[3，+∞） 上恒成立，所以4a≥

1

27

，
所以a 的取值范圍是[

1

108

，+∞)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和分離參數(shù)法，屬于中檔題．