Question

【題目】解答
（1）已知f（x）= ，證明：f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）解方程：log5（3﹣25x）=2x．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：證法一：

設(shè)x1＜x2，則

∴f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）是R上的增函數(shù)．

證法二：f（x）= =1﹣ ，

∴f′（x）= ，

∵f′（x）＞0恒成立，

故f（x）是R上的增函數(shù)

（2）

解：由解得原方程可得3﹣25x=52x，

整理得（5x﹣1）（5x+3）=0，

∵5x+3＞3≠0，

∴5x﹣1=0，

解得x=0，

∴所求方程的解集為{0}

【解析】（1）證法一：設(shè)x1＜x2 ， 作差判斷出f（x1）＜f（x2），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得：f（x）是R上的增函數(shù)．證法二：求導(dǎo)，根據(jù)f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函數(shù)．（2）原方程可化為3﹣25x=52x ， 即（5x﹣1）（5x+3）=0，由5x+3＞3≠0得：5x﹣1=0，解得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．