【題目】解答
(1)已知f(x)= ,證明:f(x)是R上的增函數(shù);
(2)解方程:log5(3﹣25x)=2x.
【答案】
(1)
證明:證法一:
設(shè)x1<x2,則
∴f(x1)﹣f(x2)= ﹣ = <0,
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)是R上的增函數(shù).
證法二:f(x)= =1﹣ ,
∴f′(x)= ,
∵f′(x)>0恒成立,
故f(x)是R上的增函數(shù)
(2)
解:由解得原方程可得3﹣25x=52x,
整理得(5x﹣1)(5x+3)=0,
∵5x+3>3≠0,
∴5x﹣1=0,
解得x=0,
∴所求方程的解集為{0}
【解析】(1)證法一:設(shè)x1<x2 , 作差判斷出f(x1)<f(x2),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,可得:f(x)是R上的增函數(shù).證法二:求導(dǎo),根據(jù)f′(x)>0恒成立,可得:f(x)是R上的增函數(shù).(2)原方程可化為3﹣25x=52x , 即(5x﹣1)(5x+3)=0,由5x+3>3≠0得:5x﹣1=0,解得答案.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中,成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間,將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組:第一組,第二組,…,第五組,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這50名學(xué)生百米測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)和平均值(精確到);
(2)若從第一、五組中隨機(jī)取出兩個(gè)成績(jī),列舉所有選取方法,并求這兩個(gè)成績(jī)的差的絕對(duì)值大于1的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.
(Ⅰ)試比較與的大小,并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn), ,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生調(diào)查寒假期間學(xué)生平均每天的學(xué)習(xí)時(shí)間,被調(diào)查的學(xué)生每天用于學(xué)習(xí)的時(shí)間介于1小時(shí)和11小時(shí)之間,按學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間分成5組:第一組,第二組,第三組,第四組,第五組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求學(xué)習(xí)時(shí)間在的學(xué)生人數(shù);
(2)現(xiàn)要從第三組、第四組中用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中隨機(jī)抽取2人交流學(xué)習(xí)心得,求這2人中至少有1人學(xué)習(xí)時(shí)間在第四組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中的奇函數(shù)是( )
A.f(x)=x+1
B.f(x)=3x2﹣1
C.f(x)=2(x+1)3﹣1
D.f(x)═﹣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)y=x2+(a+2)x﹣3,x∈[a,b]的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.
(1)求a、b的值和函數(shù)的零點(diǎn)
(2)當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域是[0,3]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校從參加高二年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,并統(tǒng)計(jì)了他們的化學(xué)成績(jī)(成績(jī)均為整數(shù)且滿分為100分),把其中不低于50分的分成五段,,…,后畫(huà)出如圖部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)求出這60名學(xué)生中化學(xué)成績(jī)低于50分的人數(shù);
(2)估計(jì)高二年級(jí)這次考試化學(xué)學(xué)科及格率(60分以上為及格);
(3)從化學(xué)成績(jī)不及格的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人,求他的成績(jī)低于50分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= 的定義域是 ( )
A.{x|x≥2}
B.{x|x≤2}
C.{x|x>2}
D.{x|x<2}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)已知是公差不為零的等差數(shù)列, ,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng);
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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