分析 (1)求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)=ex-x-a,利用切線的斜率求解a,得到f'(x)=ex-x,記g(x)=ex-x,利用g(x)min=g(0)=1>0,推出f'(x)>0恒成立,然后求解f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)利用f'(x)=ex-x-a,令g(x)=ex-x-a,求出g'(x)=ex-1,當(dāng)x≥0時,g'(x)≥0,求出g(x)min=g(0)=1-a.i)當(dāng)1-a≥0即a≤1時,求出f(x)在[0,+∞)上單增,求解最小值大于等于0.求出a的范圍.
ii)當(dāng)1-a<0即a>1時,g(x)在[0,+∞)上單增,且g(0)=1-a<0,當(dāng)1<a<e2-2時,說明?x0∈(0,ln(a+2))使g(x0)=0,當(dāng)x∈(0,x0)時,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,判斷單調(diào)性求解最值,記t(x)=ex-x,x∈(0,ln2],推出t(x)在(0,ln2]上單調(diào)遞增,然后求解即可.
解答 (本小題滿分12分)
解:(1)∵f'(x)=ex-x-a,∴f'(0)=1-a=1,∴a=0,
∴f'(x)=ex-x,記g(x)=ex-x,∴g'(x)=ex-1,
當(dāng)x<0時,g'(x)<0,g(x)單減;
當(dāng)x>0時,g'(x)>0,g(x)單增,
∴g(x)min=g(0)=1>0,
故f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增. …(4分)
(2)∵f'(x)=ex-x-a,令g(x)=ex-x-a,∴g'(x)=ex-1,
當(dāng)x≥0時,g'(x)≥0,∴g(x)在[0,+∞)上單增,∴g(x)min=g(0)=1-a.
i)當(dāng)1-a≥0即a≤1時,g(x)≥0恒成立,即f'(x)≥0,∴f(x)在[0,+∞)上單增,
∴f(x)min=f(0)=1−a22≥0⇒−√2≤a≤√2,所以−√2≤a≤1.
ii)當(dāng)1-a<0即a>1時,∵g(x)在[0,+∞)上單增,且g(0)=1-a<0,
當(dāng)1<a<e2-2時,g(ln(a+2))=2-ln(a+2)>0,
∴?x0∈(0,ln(a+2))使g(x0)=0,即ex0=x0+a.
當(dāng)x∈(0,x0)時,g(x)<0,即f'(x)<0,f(x)單減;
當(dāng)x∈(x0,+∞)時,g(x)>0,即f'(x)>0,f(x)單增.
∴f(x)min=f(x0)=ex0−12(x0+a)2=ex0−12e2x0=ex0(1−12ex0)≥0,
∴ex0≤2⇒0<x0≤ln2,由ex0=x0+a,∴a=ex0−x0.
記t(x)=ex-x,x∈(0,ln2],
∴t'(x)=ex-1>0,∴t(x)在(0,ln2]上單調(diào)遞增,
∴t(x)≤t(ln2)=2-ln2,∴1<a≤2-ln2.
綜上,a∈[−√2,2−ln2]. …(12分)
點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想構(gòu)造法以及多次導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的關(guān)系,難度大.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -\frac{1}{4} | B. | \frac{1}{4} | C. | -\frac{1}{2} | D. | \frac{1}{2} |
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