分析 (1)求導數(shù),利用曲線y=f(x)在x=0處的切線恰與直線x-2y+1=0垂直,f′(0)=1-$\frac{1}{a}$,即可求a的值;
(2)若a=2,x∈[a,2a],求導數(shù),確定f(x)在[2,4]上單調遞減,即可求f(x)的最大值.
解答 解:(1)由$f(x)=x-{e^{\frac{x}{a}}}(a>0)$,得:f′(x)=1-$\frac{1}{a}{e}^{\frac{x}{a}}$,…(2分)
則f′(0)=1-$\frac{1}{a}$,…(3分)
所以1-$\frac{1}{a}$=-2 得a=$\frac{1}{3}$.…(4分)
(2)a=2,$f(x)=x-{e^{\frac{x}{2}}},x∈[2,4],f'(x)=1-\frac{1}{2}{e^{\frac{x}{2}}}=0$(6分)
$\frac{1}{2}{e^{\frac{x}{2}}}=1,{e^{\frac{x}{2}}}=2,\frac{x}{2}=ln2,x=2ln2$(7分)
f(x)在(-∞,2ln2)上單調遞增,在(2ln2,+∞)上單調遞減 (8分)
又2ln2<2 (9分)
∴f(x)在[2,4]上單調遞減 (10分)
∴f(x)的最大值=2-e(12分)
點評 本題考查導數(shù)知識的運用,考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調性與最值,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | -$\frac{2}{3}$ | D. | -$\frac{3}{2}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 12+4$\sqrt{3}$ | B. | 12 | C. | $8+2\sqrt{3}$ | D. | 8 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 向左平移$\frac{π}{3}$個單位,再把所得各點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍 | |
B. | 向左平移$\frac{π}{3}$個單位,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍 | |
C. | 向左平移$\frac{π}{6}$個單位,再把所得各點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍 | |
D. | 向左平移$\frac{π}{6}$個單位,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍 |
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