Question

已知函數(shù)f（x）=mx+n，當(dāng)x∈[a₁，b₁]時(shí)，值域?yàn)閇a₂，b₂]，當(dāng)x∈[a₂，b₂]時(shí)，值域?yàn)閇a₃，b₃]，…，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)，值域?yàn)閇a_n，b_n]，其中m，n為常數(shù)，a₁=0，b₁=1
（1）若m=-1，n=0，求a_n；
（2）若m=3，設(shè)數(shù)列{a_n}與{b_n]的前n項(xiàng)和分別為S_n和T_n，求T₂₀₁₄-S₂₀₁₄；
（3）若m=2，n=1，求證：

n

2

-

1

3

＜

b1

b2

+

b2

b3

+…+

bn

n+1b

＜

n

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）應(yīng)用函數(shù)f（x）=-x在定義域內(nèi)為減函數(shù)，求出a_n+1=-b_n=a_n-1，用分段形式寫出a_n；
（2）當(dāng)m=3，函數(shù)f（x）=mx+n在定義域內(nèi)為增函數(shù)，得到b_n-a_n=3（b_n-1-a_n-1），即有b_n-a_n=3^n-1，可求出
T₂₀₁₄-S₂₀₁₄；
（3）當(dāng)m=2，n=1時(shí)，運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列，求出b_n+1=2•2^n-1，
由

bn

bn+1

=

2n

2n+1-1

=

1

2

-

1

2

•

1

2n+1-1

，得到是遞增數(shù)列，從而

b1

b2

+

b2

b3

+…+

bn

bn+1

≥

n

2

-

1

6

＞

n

2

-

1

3

，故結(jié)論可證．

解答： （1）解：當(dāng)m=-1，n=0時(shí)，函數(shù)f（x）=-x在定義域內(nèi)為減函數(shù)，
∴a_n=-b_n-1，b_n=-a_n-1，∴a_n+1=-b_n=a_n-1，
∵a₁=0，b₁=1，∴a₅=a₃=a₃=a₁，a₆=a₄=a₂
∴a_n=

0，n為奇數(shù) -1，n為偶數(shù)

；
（2）解：當(dāng)m=3，函數(shù)f（x）=mx+n在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
∴a_n=3a_n-1+n，b_n=3b_n-1+n，∴b_n-a_n=3（b_n-1-a_n-1）
∴{b_n-a_n}是公比為3的等比數(shù)列，b_n-a_n=（b₁-a₁）•3^n-1=3^n-1，
∴T₂₀₁₄-S₂₀₁₄=（b₁+b₂+…+b₂₀₁₄）-（a₁+a₂+…+a₂₀₁₄）
=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₂₀₁₄-a₂₀₁₄）
=3⁰+3¹+…+3²⁰¹³=

1-32014

1-3

=

1

2

（3²⁰¹⁴-1）；

（3）證明：當(dāng)m=2，n=1時(shí)，b_n=2b_n-1+1，b_n+1=2（b_n-1+1），b_n+1=2•2^n-1，
∴b_n=2ⁿ-1，
∵

bn

bn+1

=

2n

2n+1-1

=

1 2 (2n+1-1)- 1 2

2n+1-1

=

1

2

-

1

2

•

1

2n+1-1

，
∴

b1

b2

+

b2

b3

+…+

bn

bn+1

=

n

2

-

1

2

（

1

3

+

1

7

+

1

15

+…+

1

2n+1-1

）在n∈N^*上是遞增，
∴

b1

b2

+

b2

b3

+…+

bn

bn+1

≥

n

2

-

1

6

＞

n

2

-

1

3

，
∴

n

2

-

1

3

＜

b1

b2

+

b2

b3

+…+

bn

bn+1

＜

n

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和值域，數(shù)列的通項(xiàng)和求和，以及數(shù)列的單調(diào)性，以及運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性證明不等式，屬于中檔題．