Question

（1）判斷函數(shù)y=x+

x-1

的單調(diào)性（不必證明），并求x∈[1，2]時(shí)，y的取值范圍；
（2）證明：函數(shù)f（x）=x-

x-1

在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求y′，并判斷其符號(hào)，從而判斷該函數(shù)的單調(diào)性，并判斷它在[1，2]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求y的取值范圍即可；
（2）求f′（x），并判斷其在[2，+∞）上的符號(hào)，從而證明該函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．

解答： 解：（1）y′=1+

1

2 x-1

＞0；
∴函數(shù)y=x+

x-1

在[1，+∞）上為增函數(shù)；
∴該函數(shù)在[1，2]上為增函數(shù)；
y的取值范圍為：[1，3]；
（2）f′（x）=1-

1

2 x-1

；
∵x≥2，∴x-1≥1，2

x-1

≥2，0＜

1

2 x-1

≤

1

2

；
∴1-

1

2 x-1

＞0
∴函數(shù)f（x）在[2，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系來判斷或證明某函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值的取值范圍．