Question

已知函數(shù)f(x)=loga(

x+1

x-1

)，（其中a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若a＞1，判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)f（x）的定義域區(qū)間為（1，a）時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），求a的值．

Answer 1

分析：（1）先求出f（x）的定義域，再利用奇偶性的定義判斷奇偶性即可，注意到

x+1

x-1

與

x-1

x+1

互為導(dǎo)數(shù)，其對(duì)數(shù)值互為相反數(shù)．
（2）可通過(guò)復(fù)合函數(shù)“同增異減”判單調(diào)性．
（3）結(jié)合（2）中的單調(diào)性求出f（x）的最值，結(jié)合值域解方程即可．

解答：解：（1）由

x+1

x-1

＞0得x＜-1或x＞1，即f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜-1或x＞1}，
又f（-x）=loga

-x+1

-x-1

=loga

x-1

x+1

 =loga (

x+1

x-1

)-1=-f（x）
故f（x）為奇函數(shù)．
（2）f(x)=loga(

x+1

x-1

)由y=log_at和t=

x+1

x-1

復(fù)合而成，
a＞1時(shí)，y=log_at為增函數(shù)，
而t=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

在（-∞，-1）和（1，+∞）上都為減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上都為減函數(shù)．
（3）由題意a＞1，由（2）可知f（x）在（1，a）上為減函數(shù)，
故f（x）＞f（a）=loga

a+1

a-1

=1，即a²-2a-1=0，
a=1±

2

，又因?yàn)閍＞1，故a=1+

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)性的應(yīng)用，考查利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．