Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax在（-1，0）上是增函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍A；
（2）當(dāng)a為A中最小值時(shí)，定義數(shù)列{a_n}滿足：a₁∈（-1，0），且2a_n+1=f（a_n），用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n∈（-1，0），并判斷a_n+1與a_n的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值恒大于等于0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍A；
（2）直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟證明a_n∈（-1，0），通過作差法比較a_n+1與a_n的大�。�

解答： 解：（1）∵f′（x）=-3x²+a≥0即a≥3x²在x∈（-1，0）恒成立，a≥3．
∴a∈[3，+∞）；∴A=[3，+∞）；                            …（4分）
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n∈（-1，0）．
（�。﹏=1時(shí)，由題設(shè)a₁∈（-1，0）；
（ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)，a_k∈（-1，0）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=

1

2

f(ak)=

1

2

(-ak3+3ak)
由（1）知：f（x）=-x³+3x在（-1，0）上是增函數(shù)，又a_k∈（-1，0），
所以

1

2

(-(-1)3+3×(-1))=-1＜ak+1=

1

2

f(ak)=

1

2

(-ak3+3ak)＜0，
綜合（�。�（ⅱ）得：對(duì)任意n∈N^*，a_n∈（-1，0）．                      …（8分）an+1-an=

1

2

(-

a

3 n

+3an)-an=-

1

2

an(an-1)(an+1)
因?yàn)閍_n∈（-1，0），所以a_n+1-a_n＜0，即a_n+1＜a_n．                     …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟與方法，函數(shù)的最值問題的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．