Question

6．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E、G分別是AB、BB₁、AC₁的中點，AB=BB₁=2．
（1）在棱B₁C₁上是否存在點F使GF∥DE？如果存在，試確定它的位置，并求直線DE到平面AB₁C₁的距離；如果不存在，請說明理由；
（2）求截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）棱B₁C₁上F，且F為B₁C₁的中點，連接AB₁，則DE∥AB₁∥GF．DE到平面AB₁C₁的距離是點B到直線AB₁距離的一半，由此能示出結果．
（2）延長FE與CB的延長線交于M，連接DM，則DM為截面與底面所成二面角的棱，取BC的中點N，連FN，則FN∥BB₁．作EH⊥DM于H，連BH，由三垂線定理可知∠EHB為截面與底面所成的銳二面角．由此能求出結果．

解答 解：（1）棱B₁C₁上F，且F為B₁C₁的中點，使GF∥DE．
連接AB₁，
∵D、E、G分別是AB₁、BB₁、AC₁的中點，
∴DE∥AB₁∥GF．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
D是AB的中點，E是BB₁的中點，∴DE∥AB₁，
∵AB=BB₁=2，
∴DE到平面AB₁C₁的距離是點B到直線AB₁距離的一半，
∴DE到平面AB₁C₁的距離d=$\frac{1}{2}\sqrt{4-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）延長FE與CB的延長線交于M，連接DM，
則DM為截面與底面所成二面角的棱，
取BC的中點N，連FN，則FN∥BB₁．
∵EB∥FN，EB=$\frac{1}{2}$FN，∴B為MN的中點．
由題設得BM=BN=BE=BD=1，且∠DEM=120°，
作EH⊥DM于H，則∠BDM=∠BMD=30°，連BH，
又BE⊥底面ABC，
由三垂線定理可知BH⊥DM，
∴∠EHB為截面與底面所成的銳二面角．
在Rt△EHB中，BE=1，EH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠EHB=$\frac{BE}{EH}$=2．

點評 本題考查線面垂直的點的位置的確定，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．