Question

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選擇題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．
（1）．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣，A的一個(gè)特征值λ=2，其對(duì)應(yīng)的特征向量是．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）若向量，計(jì)算A²β的值．

（2）．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為其左、右焦點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，t∈R）．求點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂到直線l的距離之和．
（3）．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z均為正數(shù)．求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得（2E-A）α₁=，解得a，b即可；先計(jì)算A²，進(jìn)而計(jì)算出A²β．
（2）把直線的參數(shù)方程和橢圓的極坐標(biāo)方程化為普通方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出即可；
（3）變形后再利用公式x²+y²+z²≥2（xy+xz+xy）≥xy+xz+yz，即可證明結(jié)論；也可以利用基本不等式去證明．
解答：解：（A）解：（1）∵矩陣，A的一個(gè)特征值λ=2，其對(duì)應(yīng)的特征向量是．
∴（2E-A）α₁=，即=，∴，解得，
∴矩陣A=．
（2）∵A²==，
A²β==．
（2）由直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，t∈R），消去參數(shù)t得直線l普通方程為y=x-2；
由橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²=，化為3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
∴3x²+4y²=12，化為普通方程=1．
∴c²=4-3=1，∴c=1．
∴焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），∴點(diǎn)F₁到直線l的距離d₁=；
F₂到直線l的距離d₂=．
∴d₁+d₂=2．
（C）證明：∵x，y，z都是為正數(shù)，
∴≥2（xy+xz+xy）≥xy+xz+yz，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z＞0時(shí)取等號(hào)；
∴．
點(diǎn)評(píng)：充分理解矩陣的特征值和特征向量、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化公式及點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．